Aula II ISEE - T2017

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Fundação Universidade Federal do Amapá Curso Bacharelado em Engenharia Elétrica

INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE ENERGIA ELÉTRICA – EE0129 Prof. Esp. Jucicleber Castro E-mail: [email protected]

CIRCUITOS TRIFÁSICOS

TENSÕES TRIFÁSICAS 

INTRODUÇÃO 



A quase totalidade da energia elétrica no mundo é gerada e transmitida por meio de sistemas elétricos trifásicos (aproximadamente) equilibrados e simétricos.

OBJETIVOS 

Trabalhar com circuitos trifásicos equilibrados;

INTRODUÇÃO 

Utilização da energia elétrica – Histórico 

Corrente Contínua 



Corrente Alternada – Circuitos Monofásicos 





Transformadores – Transmissão em alta tensão com menores perdas - > transmissão em longas distâncias. Geradores e Motores em CA – mais simples, mais baratos do que em CC e mais potentes.

Circuitos Trifásicos 





Iluminação (Comp. luz) e Motores (Força e Luz) – Baixa Tensão.

Razões técnicas e econômicas  Utilização de motores trifásicos – mais potentes.  Transmissão de potência com menores custos. Padrão para Geração, Transmissão e distribuição.

Cargas Elétricas  

Trifásicas – Equilibradas – iguais nas três fases – Y / ∆ Monofásicas e Bifásicas – Desequilibradas.

TENSÕES TRIFÁSICAS 

OBTENÇÃO DE SISTEMAS TRIFÁSICOS 

Alternador trifásico

DEFINIÇÕES GERAIS 

SISTEMA DE TENSÕES POLIFÁSICO SIMÉTRICO 

Seja n o número de fases com n ≥ 3 e inteiro:

DEFINIÇÕES GERAIS 

Definimos como “sistema de tensões polifásico e simétrico ” (a n fases) um sistema de tensões do tipo:



Onde n é um número inteiro qualquer não menor que três. Em particular, quando n = 3, dizemos que o sistema é trifásico. Da definição de sistema polifásico, observamos que tais sistemas são constituídos por um conjunto de n cossenoides de mesmo valor máximo, , e com uma defasagem de 2 / rad entre duas tensões sucessivas quaisquer.



DEFINIÇÕES GERAIS

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Sistema de tensões trifásico simétrico: 

Tensões nos terminais dos geradores são senoidais, de mesmo valor máximo, e defasadas entre si de 2π/3 rad ou 120° elétricos;

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Sistema de tensões trifásico assimétrico: 

Tensões nos terminais dos geradores não atendem a pelo menos uma das condições apresentadas anteriormente.

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Carga trifásica equilibrada: Constituída por 3 impedâncias complexas iguais, ligadas em estrela ou em triângulo;

CARGAS LIGADAS EM TRIÂNGULO ZAB = ZBC = ZCA = Z

CARGAS LIGADAS EM ESTRELA ZA = ZB = ZC = Z

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Carga trifásica desequilibrada: Não se verifica a condição descrita acima.

CARGAS LIGADAS EM TRIÂNGULO ZAB  ZBC  ZCA

CARGAS LIGADAS EM ESTRELA ZA  ZB  ZC

SISTEMA DE TENSÕES TRIFÁSICO SIMÉTRICO N=3 NO DOMÍNIO DO TEMPO

NO DOMÍNIO DA FREQUÊNCIA

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Tensão de Fase 



Tensão entre condutor (ou terminal) fase e o neutro

Tensão de Linha 

Tensão entre dois condutores (ou terminais) de fase

NEUTR O TENSÃO DE LINHA

TENSÃO DE FASE

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Corrente de Fase 

Corrente que percorre cada um dos elementos do componente  Corrente que passa nas bobinas do gerador  Corrente que passa nas impedâncias da carga

CORRENTE DE FASE

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS: 

Corrente de Linha 

Corrente que percorre o condutor ou o terminal do componente, exceto o neutro.

CORRENTE DE LINHA

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS 

Definimos um sistema de tensões trifásicas e simétricas como:

v AN t   VA . cos t  vBN t   VB . cos t  120 vCN t   VC . cos t  120 Ou

v AN t   V A . cos t 

  3 t   V . cos t  2 3 

vBN t   VB . cos  t  2 vCN

C

REPRESENTAÇÃO SENOIDAL

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS 

VAN 

Definimos um sistema de tensões trifásicas e simétricas como:

VA j 0 .e  V .e j 0  V 0 2

VBN

VB  j  .e 2

VCN

VC j  .e 2

Onde:

2 3

2 3

 V .e

 V .e

j

j

2 3

2 3

2  V   3

 V 

VAN  VBN  VCN  V

2 3 REPRESENTAÇÃO FASORIAL

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS 

Definimos um sistema de tensões trifásicas e simétricas como:

SEQUÊNCIA DE FASE

TENSÕES TRIFÁSICAS 

DEFINIÇÕES GERAIS 

Definimos um sistema de tensões trifásicas e simétricas como:

SISTEMA TRIFÁSICO ASSIMÉTRICO

SISTEMA TRIFÁSICO SIMÉTRICO

TENSÕES TRIFÁSICAS 

O OPERADOR α 

Definição: 1 2

  1120  1 2 3 rad    j 

3 2

Propriedades importantes:

 1  1120  2   .  1120 . 1120  1  120  3   2 .  1  120 . 1120  10  4   3 .  10 . 1120  1120 1     2  10  1120  1  120  0

TENSÕES TRIFÁSICAS 

O OPERADOR α

TENSÕES TRIFÁSICAS 

O OPERADOR α

TENSÕES TRIFÁSICAS 

O OPERADOR α 

Sequências de fase em função de α

SEQUÊNCIA POSITIVA

SEQUÊNCIA NEGATIVA

25

TENSÕES TRIFÁSICAS 

EXEMPLO 01: 

Um sistema trifásico simétrico apresenta sequência de fase inversa e sabe-se que Vc = 100/60º. Determine as tensões Va e Vb.

26

TENSÕES TRIFÁSICAS EXEMPLO 01:  SOLUÇÃO 



As sequências de fases dada é a, c, b. Então:

Vc  10060 Vb   2  Vc  10060  120 Va    Vc  10060  120

CBA  

EXERCÍCIOS PROPOSTO I 1) Obtenha o valor de 1 − . − .  2) Obtenha o valor de  3) Calcule as expressões seguintes na forma polar: 

a) − 1 +  b) 1 − + +j  c)  d) j + 



4) Demonstrar, analiticamente e diagrama de fasores, as relações: 

− 1= 3˂150°



− 1= 3˂ − 150°



− = −



−

3

= 3 ˂90°

através

de

EXERCÍCIOS PROPOSTO I 

5) Determinar, analiticamente diagrama de fasores, os fasores: 10˂40°( − 1) − )  20˂30°(  70˂ − 55°(2 + 1)  85˂ − 30°( + 2 ) 

e

através

de

EXERCÍCIOS PROPOSTO I 

6) O operador mostre que:

é definido como

= 1˂120° ;

TENSÕES TRIFÁSICAS 

LIGAÇÕES TRIFÁSICAS DE CARGAS E FONTES: 

Os equipamentos de um sistema trifásico podem ser ligados das mais diversas maneiras. Seguem alguns exemplos a título de ilustração:

Ligação da carga em estrela a 4 fios

Ligação da carga em estrela a 3 fios Ligação da carga em estrela a 4 fios com impedância de neutro

TENSÕES TRIFÁSICAS 

LIGAÇÕES TRIFÁSICAS DE CARGAS E FONTES: 

Os equipamentos de um sistema trifásico podem ser ligados das mais diversas maneiras. Seguem alguns exemplos a título de ilustração: Fontes de tensão ideais trifásicas ligadas

Ligação da carga em delta ou triângulo

(a) em estrela com neutro solidamente aterrado

(b) em delta

RELAÇÕES DE TENSÕES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

TENSÕES DE FASE 

Tensões tomadas entre uma fase qualquer e o neutro, em um determinado ponto do sistema trifásico.

VAN  VAN 0

 V f 0  Vn 0

VBN  VBN   120  V f   120  Vn   120  a 1VAN  a 2VAN VCN  VCN   240  V f   240  Vn   240  a  2VAN  aVAN

RELAÇÕES DE TENSÕES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

TENSÕES DE LINHA 

Tensões formadas entre duas fases quaisquer, em um determinado ponto do sistema trifásico.

    1  a .V    1  a .V  

VAB  VA  VB  VA  a 2VA  1  a 2 .VA  VBC  VB  VC  VB  a 2VB VCA  VC  VA  VC  a 2VC

2

B

2

C

 330.V 330.V

330 .VA B

C

RELAÇÕES DE TENSÕES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

RELAÇÃO ENTRE TENSÕES DE LINHA E DE FASE

Tensões de linha possuem módulo igual à 3 vezes o módulo da tensão de fase e estão adiantadas de 30° das respectivas tensões de fase

RELAÇÕES DE TENSÕES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

EXEMPLO 02: 

Certa carga equilibrada ligada em estrela é suprida por um sistema trifásico simétrico com sequência de fases direta. Sendo Vb = 100/60º, determine: A) as tensões de fase;  B) as tensões de linha. 

RELAÇÕES DE TENSÕES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

SOLUÇÃO: 

A) tendo em vista a sequência de fases estabelecida, os máximos de tensão ocorrem na seguinte ordem: Vb, Vc, Va. Portanto: Vb  10060 V Vc   2  Vb  10060  120 V  100  60 V Va    Vb  10060  120 V  100180 V



B) As tensões de linha são:

Vab  Va  Vb  100  10060  3 100210 V

Vab  330 Va  3 100210 V

Vbc  Vb  Vc  10060  100  60  3 10090 V Vbc  330 Vb  3 10090 V Vca  Vc  Va  100  60  ( 100)  3 100  30 V Vca  330 Vc  3 100  30 V

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

Carga ligada em estrela (com ou sem neutro)

I A  I   I B  a 1 I A  a 2 I A I C  a  2 I A  aI A

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

Carga ligada em delta ou triângulo I AB  I BC

VAB Z

VBC a 2VAB    a 2 I AB Z Z

I CA 

VCA aVAB   aI AB Z Z

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

As correntes de linha vão ser dadas por I A  I AB  I CA  I AB  aI AB  1  a I AB I B  I BC  I AB  I BC  aI BC  1  a I BC  1  a a 1 I AB  a 1 I A  a 2 I A I B  I CA  I BC  I CA  aI CA  1  a I CA  1  a a  2 I AB  a  2 I A  aI A

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

De forma generalizada

Para cargas em estrela (a três ou quatro fios) as correntes de linha e de fase são as mesmas. Para cargas em delta, as correntes de linha são √3 vezes maiores que as correntes de fase e estão atrasadas de 30° em relação as correntes de fase.

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

EXEMPLO 03: 

Calcule as correntes de linha no sistema Y-Y a três fios da figura a seguir:

RELAÇÕES DE CORRENTES EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

SOLUÇÃO: 

Como o circuito é trifásico e balanceado, basta analisarmos apenas uma fase:

POTÊNCIA COMPLEXA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

DEFINIÇÃO: 

Para um sistema trifásico qualquer a potência complexa fornecida pelo sistema 1 para o sistema 2 é dada por:

S3  VAN .I A  VBN .I B  VCN .I C  VAN .I A A   A   VBN .I B  B   B   VCN .I C  C   C  VAN  VAN  A

I AN  I AN  A

VBN  VBN  B

I BN  I BN  B

VCN  VCN  C

I CN  I CN  C

A  A  A B  B  B C   C  C

POTÊNCIA COMPLEXA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

DEFINIÇÃO: 

Substituindo θi = αi – βi e separando a parte real da imaginária, chega-se a:

S 3  P3  jQ3 P3  ReS3   VAN .I A cos A  VBN .I B cos B  VCN .I C cos C Q3  ImS3   VAN .I A sen  A  VBN .I B sen  B  VCN .I C sen  C

POTÊNCIA COMPLEXA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

DEFINIÇÃO: 

O fator de potência médio da potência fornecida pelo Sistema 1 para o Sistema 2 é dado por:

FPmédio  potências aparentes fornecidas pelas fases

P3 S 3 fatores de potência desenvolvidos em cada uma das fases

S B  PB2  QB2  VBN .I B

PA  cos  A SA P FPB  B  cos  B SB

SC  PC2  QC2  VCN .I C

FPC 

S A  PA2  Q A2  V AN .I A

FPA 

PC  cos  C SC

POTÊNCIA COMPLEXA EM CIRCUITOS TRIFÁSICOS 

DEFINIÇÃO: 

Para Sistema trifásico simétrico e alimenta uma carga equilibrada, com (θA = θB = θC = θ): Potências : Ativa, Reativa e Aparente

P3  3V .I L cos   3VL .I L cos  Q3  3V .I L sen   3VL .I L sen  S 3  3V I L  3VL I L Fator de Potência: P FP3  3  cos  S 3

RELAÇÕES IMPORTANTES EM SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

RELAÇÕES IMPORTANTES EM SISTEMAS TRIFÁSICOS EQUILIBRADOS

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

1) Um circuito trifásico equilibrado com ligação estrela apresenta sequência de fase “abc”. A tensão fase-neutro da fase “a” é 110 V. A tensão entre os terminais “a” e “b” é igual a:

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

2) Certa carga equilibrada ligada em estrela é suprida por um sistema trifásico simétrico com sequência de fases direta. Sendo = 100˂60° : a) as tensões de fase;  b) as tensões de linha. 

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

3) Em um circuito trifásico equilibrado, a tensão é 173 ˂0° V. Determine todas as tensões e as correntes numa carga em conexão Y tendo = 10 ˂20° Ω. Suponha que a sequência de fase é abc.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

4) Um sistema trifásico simétrico. Com tensão de linha de 440 V, alimenta uma carga equilibrada ligada em triângulo, com impedância de fase de (9 + j6) Ω. Pedese determinar o fator de potência desta carga, a potência complexa por fase e a potência complexa total consumida por ela, explicitando todas as unidades.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

5) Uma carga trifásica equilibrada tem fator de potência 0,8 indutivo. Quando alimenta por um sistema trifásico simétrico com sequência de fase direta e com = 220 ˂25°, absorve 15200 W. Determine o fasor da corrente de linha.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

6) Um sistema trifásico simétrico alimenta uma carga equilibrada ligada em estrela. Sendo fornecidas a impedância de fase da carga (6 + j8 Ω), a tensão de linha (220 V , 60 Hz) e a sequência de fase direta, pede-se: a) As correntes de fase e de linha;  b) O fator de potência da carga;  c) A potência complexa fornecida à carga. 

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

7) Para uma carga trifásica indutiva ligada em delta, com ∆ = 5˂45° Ω, alimentada por uma tensão de 220 V (linha) com sequência da alimentação ABC e consideração na referência, solicita-se que a partir do equivalente monofásico se calcula as correntes de linha.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

8) Uma carga equilibrada em delta com ∆ = 9 ˂ − 30° Ω e uma carga equilibrada em Y com = 5˂45° Ω são alimentadas por um sistema trifásico com sequência ABC com tensão de linha de 480 V. Desejase obter as correntes de linha usando o circuito equivalente monofásico.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

9) Uma linha trifásica simétrica alimenta um motor trifásico ligado em estrela e uma carga, ligada em triângulo, constituída de capacitores em série com resistências. Sabemos que: I A impedância do motor é = (5 + 5) Ω por fase; = (10 − 5) Ω por fase;  II. A impedância da carga é  III. A impedância da linha é desprezível;  IV. A tensão de linha é 230 V e a sequência de fase do trifásico é direta. 



Pede-se: a) A corrente de fase do motor e a da carga;  b) A corrente de linha;  c) A potência fornecida ao motor, à carga e a potência total;  d) Diagrama fasorial. 

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

  

10) Considere um gerador trifásico ligado em triângulo com impedância interna por fase de j0,6 . Ele está ligado a uma linha de transmissão com impedâncias em cada uma das fases de (0,2 + j0,4) Ω. Esta LT alimenta duas cargas trifásicas equilibradas. A primeira ligada em estrela a três fios, com impedância por fase de (2 + j1) Ω. A segunda em delta apresenta uma impedância por fase de 6 Ω. Sabe-se que a tensão interna do gerador é de 380 V. Admitindo que as tensões são simétricas com sequência de fase positiva (ou direta) determinar: a) As correntes de linha na LT; b) As correntes de fase nas cargas; c) As tensões de fase e de linha nas cargas.

EXERCÍCIO PROPOSTO II 

O circuito elétrico que descreve o problema 10 está apresentado na figura abaixo.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS  





 

ALMEIDA, W. G. & FREITAS, F. D.: “Circuitos Polifásicos”. Editora Finatec, Brasília. 1995. ELGERD, O. I.: “Introdução à Teoria de Sistemas de Energia Elétrica”. Editora Mc-Graw Hill do Brasil Ltda. São Paulo. 1970. ELGERD, Olle I.: “Electric Energy Systems Theory: An Introduction”. 2nd. Ed. Editora McGraw Hill International Book Company. New York. 1983. GRAINGER, John; STEVENSON, Jr., William: "Power System Analysis". 1º Edição. Editora McGraw-Hill Primis Custom Publishing. New York, USA. 1994. NASAR, Syed A.: “Sistemas Eléctricos de Potência”. Editora McGraw-Hill. 1991. SAADAT, Hadi. "Power Systems Analysis". 2ª Edição. Editora McGraw-Hill Primis Custom Publishing. New York, USA. 2002.