conteúdo geometria plana - AULA 02

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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

Polígonos

Professor: Matheus Leal

POLÍGONOS Polígonos são figuras geométricas planas que são formadas por segmentos de reta a partir de uma sequência de pontos de um plano, todos distintos e não colineares, onde cada extremidade de qualquer um desses segmentos é comum a apenas um outro.

Os polígonos podem ser simples ou complexos Os polígonos simples são aqueles cujos segmentos consecutivos que o formam não são colineares, não se cruzam e se tocam apenas nas extremidades. Quando existe intersecção entre dois lados não consecutivos, o polígono é chamado de complexo.

Polígono convexo ou côncavo A junção das retas que formam os lados de um polígono com o seu interior é chamada de região poligonal. Essa região pode ser convexa ou côncava. Os polígonos simples são chamados de convexos quando qualquer reta que une dois pontos, pertencente a região poligonal, ficará totalmente inserida nesta região. Já nos polígonos côncavos isso não acontece.

Polígonos regulares Quando um polígono apresenta todos os lados congruentes entre si, ou seja, possuem a mesma medida, ele é chamado de equilátero. Quando todos os ângulos têm mesma medida, ele é chamado de equiângulo. Os polígonos convexos são regulares quando apresentam os lados e os ângulos congruentes, ou seja, são ao mesmo tempo equiláteros e equiângulos. Por exemplo, o quadrado é um polígono regular.

Elementos do Polígono 

Vértice: corresponde ao ponto de encontro dos segmentos que formam o polígono.



Lado: corresponde a cada segmento de reta que une vértices consecutivos.



Ângulos: os ângulos internos correspondem aos ângulos formados por dois lados consecutivos. Por outro lado, os ângulos externos são os ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado sucessivo a ele.



Diagonal: corresponde ao segmento de reta que liga dois vértices não consecutivos, ou seja, um segmento de reta que passa pelo interior da figura.

Nomenclatura dos Polígonos Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.

Número de lados (n)

Nomenclatura

3

Triângulo

4

Quadrilátero

5

Pentágono

6

Hexágono

7

Heptágono

8

Octógono

9

Eneágono

10

Decágono

11

Undecágono

12

Dodecágono

15

Pentadecágono

20

Icoságono

Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:

Número de lados + Gono Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.

Classificação dos polígonos Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos os lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos os ângulos iguais. Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.

Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, isto é, a circunferência que está “dentro” da circunferência.

Soma dos ângulos de um polígono Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.

Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:

Si = (n - 2) · 180° Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:

𝒂𝒊 =

𝑺𝒊 𝑛

n: número de lados do polígono; ai: ângulo interno; Si: soma dos ângulos internos Exemplo 1: Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono. Solução: Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos: Si = (n - 2) · 180° Si = (20 - 2) · 180° Si = 18 · 180° Si = 3240°

Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:

ai =

𝟑𝟐𝟒𝟎° 𝟐𝟎

ai = 162°

Soma dos ângulos externos de um polígono A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.

𝑺𝒆 = 𝟑𝟔𝟎°

𝒂𝒆 = 𝒂𝒆 =

𝑺𝒆 𝒏

𝟑𝟔𝟎° 𝒏

Número de diagonais Para calcular o número de diagonais de um polígono, utiliza-se a seguinte fórmula:

𝒅=

𝒏 ∙ (𝒏 − 𝟑) 𝟐

Exemplo 2: Quantas diagonais apresenta um octógono convexo? Solução: Considerando que o octógono possui 8 lados, aplicando a fórmula, temos:

𝒅=

𝟖 ∙ (𝟖 − 𝟑) 𝟐

𝒅=

𝟖∙5 𝟐

𝒅 = 𝟐𝟎 Portanto, um octógono convexo contém 20 diagonais.

EXERCÍCIOS 01. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35 diagonais tem: a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. d) 12 lados. e) 20 lados. 02. (PUC - RJ) Considere o pentágono regular ABCDE. Quanto vale o ângulo ACE? a) 24° b) 30° c) 36° d) 40° e) 45 03. (UPF/2009) Se os ângulos externos de um polígono regular medem 18°, então o número de diagonais desse polígono é: a) 190 b) 170 c) 120 d) 135 e) 162 04. (UECE/2014) Se, em um polígono convexo, o número de lados n é um terço do número de diagonais, então o valor de n é: a) 9. b) 11. c) 13. d) 15. e) 18. Gabarito: 01. (C) / 02. (C) / 03. (B) / 04. (A)

MAPAS MENTAIS

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Teorema de Tales

Professor: Samuel Alves

TEOREMA DE TALES Retas paralelas são aquelas que não se cruzam entre si, ao contrário de retas concorrentes, as quais possuem um ponto de intersecção. Caso ainda tenha dúvidas releia o conteúdo da Aula 01. Chamamos de feixe de retas paralelas um conjunto de retas paralelas e coplanares (que estão no mesmo plano). E uma reta é dita transversal a esse feixe se ela for concorrente às retas deste feixe.

É importante notar que tais retas paralelas não precisam estar igualmente espaçadas, ou seja, o espaço entre duas não precisa ser igual para todas. Observe que, ao traçarmos duas retas transversais em um feixe de retas paralelas, obtemos pontos correspondentes - que são pontos das transversais que se encontram numa mesma reta do feixe.

Temos, ainda, os segmentos correspondentes das duas retas transversais - que são aqueles cujos extremos são pontos correspondentes de tais retas.

Teorema de Tales O teorema relaciona os segmentos correspondentes de duas (ou mais) retas transversais a um feixe de retas paralelas. Ele diz que a razão entre dois quaisquer segmentos correspondentes é constante, ou seja, existe uma proporção entre eles. Isto é, os segmentos correspondentes que surgem das retas transversais são proporcionais entre si. Considere três retas paralelas a, b, c “cortadas” por duas transversais r e s.

Pelo Teorema de Tales, temos que a razão entre segmentos correspondentes nas duas transversais é constante, isto é:

Exemplo 01: Descubra o valor de “x”, sabendo que r // s // t

Exemplo 02: Calcule o valor de “x” e “y”, sabendo que a // b // c // d a)

b)

EXERCÍCIO 01. Calcule m na figura, r // s // t.

02. (PUC-Campinas-SP–2007) Na figura a seguir, as retas r, s e t são paralelas entre si.

Se AC = X, BC = 8, DE = 15, EF = X – 10, GI = Y e HI = 10, então X + Y é um número: a) maior que 47. b) entre 41 e 46. c) menor que 43. d) quadrado perfeito. e) cubo perfeito. 03. (Cesgranrio) As retas r1, r2 e r3 são paralelas, e os comprimentos dos segmentos de transversais são os indicados na figura. Então, x é igual a

a) 4 b) 5

1 5 1 5

c) 5 d)

8 5

e) 6 04. (UFV-MG–2007) Sob duas retas paralelas de uma cidade, serão construídos, a partir das estações A e B, passando pelas estações C e D, dois túneis retilíneos, que se encontrarão na estação X, conforme ilustra a figura a seguir:

A distância entre as estações A e C é de 1 km e entre as estações B e D, de 1,5 km. Em cada um dos túneis, são perfurados 12 m por dia. Sabendo que o túnel 1 demandará 250 dias para

ser construído e que os túneis deverão se encontrar em X, no mesmo dia, é CORRETO afirmar que o número de dias que a construção do túnel 2 deverá anteceder à do túnel 1 é: A) 135

B) 145

C) 125

D) 105

E) 115

05. (Enem–2000) Um marceneiro deseja construir uma escada trapezoidal com 5 degraus, de forma que o mais baixo e o mais alto tenham larguras, respectivamente, iguais a 60 cm e a 30 cm, conforme a figura.

Os degraus serão obtidos cortando-se uma peça linear de madeira cujo comprimento mínimo, em cm, deve ser: A) 144

B) 180

C) 210

D) 225

E) 240 GABARITO

01. (m = 4 ou m = 6) / 02. (b) / 03. (e) / 04. (c) / 05. (d)

MAPA MENTAL

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Bons Estudos!!!