AULA 03 - TRABALHO INTERNO E ENERGIA DE DEFORMAÇÃO

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ESTADO DE MATO GROSSO SECRETARIA DE ESTADO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO – UNEMAT CAMPUS UNIVERSITÁRIO PROFº EUGÊNIO CARLOS STIELER COORDENAÇÃO DE CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

TEORIA DAS ESTRUTURAS Aula 3: Trabalho interno e energia de deformação

Profº: Guilherme Adriano Weber

27/05/2021

Introdução O processo normal de resolução de problemas contempla a análise dos seguintes componentes: ➢ Equações de equilíbrio; ➢ Relações geométricas; ➢ Deslocamentos e deformações; ➢ Tensões e demais incógnitas. No entanto, para sistemas estruturais mais complexos, a maior dificuldade está na determinação das relações geométricas adequadas 2

Introdução Nos métodos de energia, as relações geométricas também são necessárias, mas elas assumem um significado secundário. As equações de equilíbrio são substituídas por relações que comparam o trabalho externo das forças e a energia armazenada no próprio sistema. Vantagem: Energia e trabalho são grandezas escalares, e o cálculo é significativamente mais simples.

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Trabalho de uma Força Considere a barra submetida a uma carga axial 𝑃 que cresce lentamente. Desenhando um gráfico da intensidade 𝑃 da força em função da deformação 𝑥 da barra, obtemos uma curva característica.

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Trabalho de uma Força Na mecânica, uma força realiza um trabalho quando sofre um deslocamento 𝑑𝑥 na mesma direção dela. O trabalho elementar 𝑑𝑈 é o produto da intensidade 𝑃 da força pelo alongamento 𝑑𝑥.

𝑑𝑈 = 𝑃 𝑑𝑥 O trabalho total 𝑈 feito pela força enquanto a barra sofre uma deformação 𝑥1 é 𝑥1

𝑈 = න 𝑃 𝑑𝑥 0

E é igual à área sob o diagrama força-deformação

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Energia de deformação Quando aplicadas a um corpo, as cargas deformam o material. Desde que não haja perda de energia em forma de calor, o trabalho externo por elas realizado será convertido em trabalho interno denominado energia de deformação.

Energia de deformação

Energia de deformação é obtida multiplicando-se unidades de força por unidades de comprimento. Assim, serão expressas em 𝑁. 𝑚, essa unidade é chamada de joule (J) 6

Trabalho de uma Força No caso de uma deformação linear e elástica, a parte do diagrama força-deformação pode ser representada por uma linha reta, cuja equação é 𝑃 = 𝑘𝑥. Substituindo 𝑃 na integral, temos 𝑥1

𝑘𝑥12 𝑈 = න 𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 2 0 ou ainda

𝑃1 𝑥1 𝑈= 2 onde 𝑃1 é a força correspondente à deformação 𝑥1

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Trabalho de um Momento Um momento realiza um trabalho quando sofre um deslocamento de rotação 𝑑𝜃 ao longo de sua linha de ação. O trabalho realizado é definido como

𝑑𝑈 = 𝑀 𝑑𝜃 se o ângulo total do deslocamento for 𝜃1 radianos 𝜃1

𝑈 = න 𝑀 𝑑𝜃 0

e para um comportamento linear-elástico do material

𝑀1 𝜃1 𝑈= 2 8

Densidade de Energia de deformação Dividindo a energia 𝑈 pelo volume 𝑉 = 𝐴𝐿 da barra

Lembrando que 𝑃/𝐴 é a tensão normal 𝜎𝑥 e que 𝑥/𝐿 é a deformação específica 𝜖𝑥 , temos a densidade de energia de deformação

Densidade de energia de deformação 9

Energia de deformação para tensões normais Partindo da expressão de densidade de energia e considerando um regime linear elástico, podemos definir 𝜎𝑥 = 𝐸𝜖𝑥 e escrever 𝜖𝑥

1 2 1 1 𝜎𝑥2 𝑢 = න 𝜎𝑥 𝑑𝜖𝑥 = 𝐸𝜖𝑥 = 𝜎𝑥 𝜖𝑥 = 2 2 2𝐸 0 Para um estado uniaxial de tensão podemos substituir 𝑢 na integral da energia de deformação

𝑑𝑈 𝑢= 𝑑𝑉

𝑈 = න 𝑢 𝑑𝑉

𝜎𝑥2 𝑈=න 𝑑𝑉 2𝐸 10

Energia de deformação carregamento axial

para

Para um carregamento axial centrado, a tensão normal é considerada uniforme na seção, podemos fazer 𝜎𝑥 = 𝑃Τ𝐴. Para o elemento de volume 𝑑𝑉 podemos fazer 𝑑𝑉 = 𝐴 𝑑𝑥 e a expressão fica

Para uma barra com seção transversal uniforme e com carga axial centrada, a expressão resulta em

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Exemplo Uma barra consiste em duas partes BC e CD, do mesmo material e do mesmo comprimento, mas com seções transversais diferentes. Determine a energia de deformação da barra quando submetida a uma carga axial centrada P

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Exemplo 𝑈 = 𝑈𝐶𝐷 + 𝑈𝐵𝐶

𝑃2 2𝐿 𝑃2 2𝐿 𝑃2 𝐿 1 = + = 1+ 2 2 2𝐴𝐸 2 𝑛 𝐴 𝐸 4𝐴𝐸 𝑛

𝑃 2 𝐿 𝑛2 + 1 𝑈= 2𝐴𝐸 2𝑛2

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Energia de deformação na Flexão Considere a viga AB submetida a um carregamento, e seja M o momento fletor a uma distância x da extremidade A. Desprezando o efeito do esforço cortante e levando em conta somente as tensões normais produzidas pelo momento.

𝑀𝑦 𝜎𝑥 = 𝐼

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Energia de deformação na Flexão Substituindo a expressão de tensão normal na equação da energia de deformação.

𝜎𝑥2 𝑀2 𝑦 2 𝑈=න 𝑑𝑉 = න 𝑑𝑉 2 2𝐸 2𝐸𝐼 Fazendo 𝑑𝑉 = 𝑑𝐴 𝑑𝑥 e lembrando que 𝑀2 Τ2𝐸𝐼 2 é função somente de 𝑥, temos 𝐿

𝐿 2 𝑀2 𝑀 2 𝑑𝐴 𝑑𝑥 = න න 𝑈=න 𝑦 𝑑𝑥 2 0 2𝐸𝐼 0 2𝐸𝐼 15

Exemplo Determine a energia de deformação de uma viga prismática AB em balanço, levando em conta apenas o efeito das tensões normais

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Exemplo Determine a energia de deformação de uma viga prismática AB em balanço, levando em conta apenas o efeito das tensões normais

Σ𝑀𝛼 = 0 𝑀 + 𝑃𝑥 = 0 𝑀 = −𝑃𝑥

𝐿

𝐿 𝑀2 (−𝑃𝑥)2 𝑃2 𝐿3 𝑈=න 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 = 2𝐸𝐼 6𝐸𝐼 0 2𝐸𝐼 0 17

Energia de deformação Elástica para tensões de cisalhamento Um material submetido a um estado plano de tensão em cisalhamento puro 𝜏𝑥𝑦 , a densidade de energia de deformação em um ponto pode ser expressa por:

𝛾𝑥𝑦 é a deformação por cisalhamento correspondente a tensão 𝜏𝑥𝑦 18

Energia de deformação para Forças Transversais A energia de deformação para forças transversais pode ser escrita da seguinte maneira:

𝐿

𝑉2 𝑈=න 2 2𝐺𝐼 0

𝐿 𝑄2 𝑓𝑠 𝑉 2 න 2 𝑑𝐴 𝑑𝑥 = න 𝑑𝑥 𝐴 𝑡 0 2𝐺𝐴

Lembrando que: 𝐸 𝐺= 2 1+𝜐

O fator de forma é um número adimensional exclusivo para cada área de seção transversal específica. Para seção retangular 𝑓𝑠 = 6/5

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Exemplo Determine a energia de deformação de uma viga prismática AB de seção retangular em balanço, levando em conta o efeito das tensões normais e de cisalhamento.

𝑈 = 𝑈𝜎 + 𝑈𝜏 𝑃2 𝐿3 𝑈𝜎 = 6𝐸𝐼 𝐿

𝑓𝑠 𝑉 2 𝑈𝜏 = න 𝑑𝑥 0 2𝐺𝐴 20

Exemplo Esforço Cortante

−𝑃 − 𝑉 = 0

Σ𝐹𝑦 = 0

𝑉 = −𝑃 Fator de Forma ao cisalhamento

6 𝑓𝑠 = = 1,2 5 Energia de Deformação devido a Tensão de Cisalhamento

𝐿 6 5

𝑈𝜏 = න

0

−𝑃 2𝐺𝐴

2

3𝑃2 𝐿 3𝑃2 𝐿 න 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 = 5𝐺𝐴 0 5𝐺𝐴

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Exemplo Determine a energia de deformação de uma viga prismática AB de seção retangular em balanço, levando em conta o efeito das tensões normais e de cisalhamento.

A Energia de Deformação da Viga então fica:

𝑈 = 𝑈𝜎 + 𝑈𝜏

𝑃2 𝐿3 𝑈𝜎 = 6𝐸𝐼 3𝑃2 𝐿 𝑈𝜏 = 5𝐺𝐴

𝑃2 𝐿3 3𝐿𝑃2 𝑈 = 𝑈𝜎 + 𝑈𝜏 = + 6𝐸𝐼 5𝐺𝐴 É normal na engenharia desprezar o efeito do cisalhamento ao calcular-se a energia de deformação de vigas delgadas. 22

Energia de deformação para Momento de Torção Considere um eixo BC de comprimento 𝐿 submetido a uma ou varias cargas de torção. Considerando 𝐽 o momento polar de inércia de uma seção transversal a uma distância 𝑥 de B, e 𝑇 o momento de torção naquela seção.

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Energia de deformação para Momento de Torção Lembrando que a integral entre parênteses representa o momento polar de inércia 𝐽 da seção transversal: 𝐿

𝐿 2 𝑇2 𝑇 2 න 𝜌 𝑑𝐴 𝑑𝑥 = න 𝑈=න 𝑑𝑥 2 0 2𝐺𝐽 𝐴 0 2𝐺𝐽

Em caso se seção transversal constante e torque constante, conforme figura, a expressão fica na forma

𝑇2𝐿 𝑈= 2𝐺𝐽 24

Exemplo O eixo circular consiste em duas partes BC e CD do mesmo material e do mesmo comprimento, mas com seções transversais diferentes. Determine a energia de deformação no eixo quando ele é submetido a um momento de torção 𝑇 na extremidade D.

𝜋𝑑4 𝐽= 32 𝜋 𝑛𝑑 𝐽𝑛 = 32

4

4 𝜋𝑑 = 𝑛4 32

𝐽𝑛 = 𝑛4 𝐽 25

Exemplo 𝑈 = 𝑈𝐶𝐷 + 𝑈𝐵𝐶

𝑇 2 2𝐿 𝑇 2 2𝐿 𝑇2𝐿 1 = + = 1+ 4 4 2𝐽𝐺 2 𝑛 𝐽 𝐺 4𝐽𝐺 𝑛

𝑇 2 𝐿 𝑛4 + 1 𝑈= 2𝐽𝐺 2𝑛4 26

Referências BEER, P et all. Mecânica dos Materiais. 5. ed. Porto Alegre: AMGH, 2011.

HIBBELER, R.C. Resistência dos Materiais. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010.

Conteúdo baseado no material do Profº Fernando Rodrigues Pillon.

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Exercício Levando em conta apenas o efeito das tensões normais em virtude da flexão, determine a energia de deformação de uma viga prismática para o carregamento mostrado. 𝐿

𝑀2 𝑈=න 𝑑𝑥 0 2𝐸𝐼

Resposta 𝑈 = 0,426 𝑘𝐽

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Exercício Determine a energia de deformação total axial e por flexão na viga de perfil W200 x 86 de aço estrutural A36.

𝐼 = 94,7. 106 𝑚𝑚4 𝐴 = 11 000𝑚𝑚2 𝐸 = 200𝐺𝑃𝑎

𝑈 = 74,48 𝐽 29