Aula 33 - Matemática - Aula 05

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Aula 5 – Pacote para Iniciantes 1.

Unidade de medida de ângulos. ........................................................................................... 2 I.

2.

Radiano. ............................................................................................................................ 2 Trigonometria no triângulo retângulo . . .............................................................................. 5

I.

Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo . ................................................... 6

II.

Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo . ......................................................... 7

III.

Razões trigonométricas dos ângulos notáveis . . ........................................................ 10

IV.

Relações entre seno, cosseno e tangente. . ............................................................... 15

3.

Razões trigonométricas na circunferência. . ...................................................................... 20 I.

Círculo trigonométrico . . ................................................................................................ 20

II.

Sinal das razões trigonométricas. . ................................................................................. 22

III.

Fórmulas Importantes. . ............................................................................................. 23

4.

Questões da ESAF com assuntos “esporádicos” . . ............................................................. 32

5.

Relação das questões comentadas . . ................................................................................. 37

6.

Gabaritos . . ......................................................................................................................... 42

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Olá pessoal! Fiz uma pequena alteração na ordem de nossas aulas. A aula 5 será sobre Trigonometria e a aula 6 (última) será sobre Geometria Plana e Geometria Espacial.

1. Unidade de medida de ângulos Ao dividir um ângulo raso em 180 partes iguais, obtemos ângulos de 1º (um grau). Portanto, o ângulo de 1º é o ângulo que corresponde a 1/180 do ângulo raso.

I.

Radiano

Há outra medida de ângulos que é muito utilizada e faz parte do SI (Sistema Internacional de Unidades). Ângulos medidos em radianos são frequentemente apresentados sem qualquer unidade explícita. Quando, porém, uma unidade é apresentada, normalmente se utiliza a sigla rad. E o que significa 1 radiano? Imagine uma circunferência com o raio igual a 1 metro.

1 metro Marque um ponto qualquer na circunferência. Imagine agora que esta circunferência é uma mini-pista de Cooper. Você decide andar sobre a circunferência exatamente o comprimento de 1 metro.

1 metro

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Pois bem, o ângulo formado pelos dois raios tracejados é de exatamente 1 radiano. Na verdade, não é necessário que o raio seja de 1 metro. O que precisa acontecer é o seguinte: i) ii)

Trace uma circunferência com um raio qualquer. Digamos que o raio seja igual a R. Marque um ponto inicial na circunferência. Ao “andar” sobre a circunferência um comprimento igual ao raio da circunferência, estará definido um arco de 1 radiano.

E a volta completa representa quantos radianos? Para responder esta pergunta, basta efetuar uma regra de três. Se quando o comprimento andado na circunferência é igual a R, o arco medido é de 1 radiano, quantos radianos há na volta completa? (lembre-se que o comprimento total da circunferência é igual a 2 ). Comprimento “andado” na circunferência

Radianos 1

2

É óbvio que aumentando o comprimento andando na circunferência, aumentará o ângulo. Portanto, as grandezas são diretamente proporcionais. 1 2 1

1 2 2

Desta forma, a volta completa (360º) corresponde a 2

.

Obviamente, 180º é a metade de 360º, portanto 180º correspondem a Tendo em vista essas considerações, podemos correspondência para conversão de unidades:

estabelecer

. a

seguinte

180° EP 1. Exprima 210º em radianos. Resolução Basta “montar” uma regra de três. Em casos como este de mudança de unidades, a regra de três é sempre direta, de forma que podemos aplicar a propriedade fundamental das proporções: o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 180° 210° 180° ·

210° ·

210° · 180°

210 180

21 18

7 6 EP 2.

Exprima

em graus.

Resolução 180° 2 3 ·

180° · ·

2 3

120° 120°

Memorizando alguns valores básicos, podemos rapidamente deduzir outros. Por exemplo, vamos transformar 30º em radianos. 180° 30° 180° ·

30° ·

30° · 180°

30 180

6

6 Ora, se 30º é o mesmo que /6 rad, portanto para calcular 60º em radianos basta multiplicar /6 rad por 2 (já que 60º é o dobro de 30º). 60°

2·

6

3

90º é o triplo de 30º, portanto para calcular 90º em radianos basta multiplicar /6 rad por 3 (já que 90º é o triplo de 30º). 90°

3·

6

2

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 45º é a metade de 90º, então para calcular 45º em radianos basta dividir /2 rad por 2. 2 2

45°

4

120º é o dobro de 60º, portanto para calcular 120º em radianos basta multiplicar por 2. 120°

2·

2 3

3

270º é o triplo de 90º, portanto para calcular 270º em radianos basta multiplicar por 3. 270°

3·

/3

/2

3 2

2

E desta forma, podemos criar a seguinte tabela de valores notáveis. Graus 30º 45º 60º 90º 120º

Radianos 6 4 3 2 2 3

180º 270º

3 2

360º

2

2. Trigonometria no triângulo retângulo Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos internos é reto (90º). Para manter uma notação uniforme ao longo da aula, sempre que tratarmos de um triângulo retângulo ABC, consideraremos que o ângulo reto é o de vértice A. Em geometria, é comum utilizar a notação de que o nome do lado tem o mesmo nome do vértice oposto. Em suma, teremos como modelo o seguinte triângulo retângulo:

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180°. Como

Pela Lei Angular de Tales, 90°

90°, então:

180° 90°

Ou seja, os ângulos agudos de um triângulo retângulo são sempre complementares (a soma é 90º). Pois bem, em todo triângulo retângulo o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e o os outros lados são chamados de catetos. Lembre-se ainda que é válido o Teorema de Pitágoras:

I.

Cateto adjacente e cateto oposto a um ângulo agudo

Vamos considerar novamente o triângulo retângulo ABC.

Em relação ao ângulo : é

.

é

.

Em relação ao ângulo : é é

. .

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II.

Seno, Cosseno e Tangente no triângulo retângulo

Para um ângulo agudo de um triângulo retângulo, definimos seno, cosseno e tangente como segue: SENO O seno do ângulo é a razão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

â

â

COSSENO O cosseno do ângulo é a razão entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa.

â

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â

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES TANGENTE A tangente do ângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo.

â

â

â

É importante notar que as funções trigonométricas dependem exclusivamente dos ângulos e não do “tamanho” do triângulo. EC 1. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ. a) 0,5 b) 0,6 c) 0,71. d) 0,75. e) 0,8 Resolução Apliquemos o Teorema de Pitágoras: Um triângulo é retângulo se e somente se a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.

4

2

1

4

1

2

2 4

4

4

1 4

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1

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 4

4

0

√ 2

4

4 2·1

4

0

4 2

4·1·4

2

Assim, os lados do triângulo serão: 2x – 1 = 3 x+2 = 4 2x+1=5

3 5

â

0,6

Letra B EP 3. Considerando que retângulo abaixo.

24°

0,4067 determine o valor de

no triângulo

24o

10

Resolução Queremos calcular o cateto oposto ao ângulo de 24º. Para isto vamos utilizar a função seno. 24°

â

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24°

10

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 0,4067 10

10 0,4067

4,067

III.

Razões trigonométricas dos ângulos notáveis

As razões trigonométricas dos ângulos 30º, 45º e 60º aparecem com bastante frequência em problemas de trigonometria. Por esta razão, vamos apresentar essas razões na forma fracionária.

30º Seno

Cosseno

√

Tangente

√

45º

60º

√

√

√ √

EP 4. Calcular os catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 20 cm e um dos ângulos agudos mede 30º. Resolução

30o

20

i) Cálculo de . Note que é o cateto oposto ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a razão que relaciona esses dados é o seno. â

30° 1 2 2·

20 1 · 20

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30°

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 10 Neste ponto poderíamos utilizar o Teorema de Pitágoras para calcular o valor de . Porém, para treinar mais as razões trigonométricas, vamos calcular o valor de supondo que não é conhecido. ii) Cálculo de . Note que é o cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como conhecemos a hipotenusa, então a razão que relaciona esses dados é o cosseno. â

30°

30°

√ 20 2·

20 · √3 10√3

Vale a pena notar o seguinte fato: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a metade da hipotenusa.

EC 2. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:

Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado. a) 1 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3

2√3 2√3 √3 √3 √3

Resolução Lembremos os valores do seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 30º Seno

Cosseno

√

Tangente

√

45º

60º

√

√

√ √

Um lembrete importante que poderá você ganhar tempo é o seguinte. Em um triângulo retângulo com ângulos agudos iguais a 30º e 60º, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual à metade da hipotenusa. Como a hipotenusa é igual a 2, o cateto oposto ao ângulo de 30º é igual a 1. Se você não se lembrar, basta aplicar as definições de seno e cosseno no triângulo retângulo. â

â

Assim, 30°

â

30

2

1 2

2

√3 2

Portanto, x = 1.

Assim,

30°

â

30 √3

O perímetro (em geometria indicamos o perímetro por 2p) é igual a 2

2

1

√3

3

√3

Letra E

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES EC 3. (AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km Resolução. 1 hora equivale a 60 minutos. Cada minuto corresponde a 60 segundos. Portanto, 1 60 · 60 3.600 . Em 1 hora (3.600 segundos), a bala percorre 900 km. Qual a distância percorrida em 5 segundos? Distância (km)

Tempo (s)

900 km

3.600

x

5

Observe que diminuindo o tempo, a distância percorrida também diminuirá. As grandezas são diretamente proporcionais. 900

900

720

3.600 5

720

900

900 90 10 720 72 8 Representando a trajetória da bala, temos:

1,25

5 4

1,25

30o

O triângulo acima é retângulo, pois uma reta horizontal é sempre perpendicular a uma reta vertical. No triângulo retângulo, sabemos que o seno de um ângulo é dado pela divisão entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 30°

1,25

1 2

1,25

2

1,25 0,625

Poderíamos usar o fato que foi dito anteriormente: o cateto oposto ao ângulo de 30º é sempre a metade da hipotenusa. Desta forma: 1,25 2

0,625

Letra B EC 4. (STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e 2 . Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a: a) 2

1

b)

2

2√2

c)

2

√2

d) 2 e) Resolução

2

A tangente de um ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente ao ângulo. O problema disse que a tangente do ângulo oposto ao cateto de medida (ângulo ) é igual a 1. 1 2

1 2

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Ou seja, os dois catetos são iguais a . Vamos considerar que a hipotenusa do triângulo retângulo é igual a . Desta forma, podemos aplicar o teorema de Pitágoras. 2 2 √2 Os dois catetos têm medida igual a

e a hipotenusa é igual a

√2.

O perímetro é igual a: 2

√2

2

√2

√2

Letra C

IV.

Relações entre seno, cosseno e tangente

Voltemos ao triângulo retângulo “modelo”.

·

Destas duas relações, podemos concluir que

e que

·

.

O teorema de Pitágoras afirma que:

Vamos substituir as expressões

·

· · Dividindo os dois membros da equação por

e

·

no teorema de Pitágoras.

· · , obtemos: 1

Analogamente podemos provar que

1.

Temos o costume de escrever as expressões acima assim:

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 1 Ou seja,

.

Esta expressão é conhecida como Relação Fundamental da Trigonometria. Aliás, esta é a expressão mais importante desta aula. Posteriormente, veremos que esta relação é válida para qualquer ângulo (não necessariamente agudo). Vamos agora mostrar que:

De fato,

·

Então grave bem essas duas fórmulas que são válidas para qualquer ângulos (desde que a tangente exista como vamos ver posteriormente). 1

EC 5. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3 valores para a tangente de x é igual a:

1, então um dos possíveis

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7 Resolução Coloquei essa questão com o intuito de lembrar uma fórmula importantíssima de trigonometria. É tão importante que é chamada de Relação Fundamental da Trigonometria. Ei-la: 1 São inúmeras as questões que podem ser resolvidas com o auxílio dessa relação. Para que possamos utilizá-la na questão, devemos elevar ambos os membros da equação ao quadrado. 3

1

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 9

6·

Ora, mas podemos dizer que 9

·

1

8

Ficamos com 6·

8

·

1

Mas lembre-se que 1

Portanto, 8

6·

·

1

6·

8 8

· 6·

8

1 0

· 6· 8 6 4 3

Letra A EC 6. (AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações

⎧ xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a ) ⎨ ⎩ x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a) possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) senπ e) cos π Resolução. A idéia é a mesma do exercício anterior. Elevamos todas as parcelas das igualdades ao quadrado, para surgirem seno ao quadrado e cosseno ao quadrado. Em seguida, utilizaremos a propriedade que diz:

sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 Muito bem. Vamos elevar todos os termos ao quadrado:

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES ⎧⎪ x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) − 2 xy × sen(a ) × cos(a ) = cos 2 (2a ) ⎨ 2 ⎪⎩ x cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) + 2 xy × sen(a ) × cos( a ) = sen 2 (2a ) Agora vamos somar a equação de cima com a debaixo. Do lado esquerdo da igualdade, notem que os termos destacados em vermelho vão se anular:

⎧⎪ x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) − 2 xy × sen( a ) × cos( a ) = cos 2 (2a ) ⎨ 2 ⎪⎩ x cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) + 2 xy × sen( a ) × cos( a ) = sen 2 (2a) Vamos então efetuar a soma, já cancelando os termos destacados. Ficamos com:

x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a) + x 2 cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) = cos 2 (2a) + sen 2 (2a ) Do lado direito da igualdade, temos o quadrado do seno de 2a, somado com o quadrado do cosseno deste mesmo ângulo. Sempre que temos uma soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado, a soma é igual a 1.

x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a) + x 2 cos 2 (a ) + y 2 sen 2 (a ) = cos 2 (2a) + sen 2 (2a ) x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a ) = 1 Do lado esquerdo da igualdade, podemos colocar x2 em evidência. O mesmo vale para y2.

x 2 sen 2 (a ) + y 2 cos 2 (a ) + x 2 cos 2 (a) + y 2 sen 2 (a ) = 1

(

)

(

)

x 2 sen 2 (a ) + cos 2 (a) + y 2 cos 2 (a) + sen 2 (a ) = 1 1 x 2 (1) + y 2 (1) = 1 x2 + y2 = 1 A soma dos quadrados das raízes é 1. Letra A EC 7. (AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz resultante?

a) α cos y. b) α2 tg y. c) α sen y. d) 0. e) -α sen y. Resolução Vamos calcular o determinante da matriz original, antes de multiplicá-la por α.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Para tal, vamos aplicar a regra de Sarrus que aprendemos na aula de matrizes e determinantes (aula 4 – parte 2). Devemos repetir as duas primeiras colunas. 1 α cos

1 1 cos

1 α cos

Primeiro multiplicamos os elementos na direção da diagonal principal e em seguida multiplicamos os elementos na direção da diagonal secundária (trocando os sinais dos resultados). O determinante da matriz é igual a: 1·

· cos

· 1 · cos

1·

·

·

· cos

1·1·

1·

· cos

Lembre-se que: cos

Vamos utilizar esta fórmula na expressão do determinante. 1·

cos

· cos

cos

· 1 · cos

1·

·

cos

·

·

· cos

1·1·

·

1·

cos

· cos

0

Desta forma, o determinante da matriz é igual a 0. Vamos lembrar uma propriedade importantíssima dos determinantes. Quando multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante , o determinante fica multiplicado por . Como a matriz é de terceira ordem, então o determinante será multiplicado por .

·

·

Portanto, ao multiplicar a matriz por , o determinante da matriz será igual a · · ·0 0 Letra D EC 8. (TFC 2000/ESAF) Se tem-se que: 9 9 9

a) 16 b) 16 c) 16 d) 16 e) 16

3

e

4 cos , então, para qualquer ângulo ,

144 144 144 144 144

9 9

Resolução Se

3

e

4 cos , podemos concluir que: 3

cos

4

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Vamos usar a Relação Fundamental da Trigonometria.

sen 2α + cos 2 α = 1

9

16

16

9 144

16

1

4

3

9

1 1 144

Letra B

3. Razões trigonométricas na circunferência I.

Círculo trigonométrico

Vamos estender o conceito das razões trigonométricas para arcos na circunferência. Para tal, vamos definir o que é o círculo (ou circunferência ou ciclo) trigonométrico. O círculo trigonométrico nada mais é do que um círculo orientado de raio 1. Como assim orientado? Vamos definir um sentido positivo e um sentido negativo para se locomover ao longo da circunferência. Adotamos que o sentido positivo é o sentido anti-horário e o sentido negativo é o sentido horário. Vamos considerar um plano cartesiano e dispor a circunferência de raio 1 exatamente na origem do plano.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Por definição, o ponto (1,0) é a origem dos arcos. Então, para traçar um arco no ciclo trigonométrico, começamos no ponto (1,0) e caminhamos ao longo do ciclo. Abaixo estão descritos dois arcos: 30º (arco vermelho) e

60º (arco azul).

30o

60°

Devemos nos lembrar sobre os quadrantes do plano cartesiano.

2º quadrante

1º quadrante 30o

60° 3º quadrante

4º quadrante

Desta forma, dizemos que o arco de 30º faz parte do primeiro quadrante e o arco de 60° faz parte do 4º quadrante.

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22

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II.

Sinal das razões trigonométricas

O sinal das razões trigonométricas de determinado arco depende exclusivamente de qual quadrante ele se localiza. Vamos fazer um pequeno resumo relacionando o quadrante que o arco possa se encontrar e o sinal das funções trigonométricas. Função

Sinal

SENO

COSSENO

TANGENTE

O quadro acima significa, por exemplo, que a tangente de um arco que se encontra no terceiro quadrante é positiva. O cosseno de um arco que se encontra no segundo quadrante é negativo. O seno de um arco que se encontra no quarto quadrante é negativo. Este quadro é importantíssimo!!!! Para calcular as razões trigonométricas dos arcos nos outros quadrantes, precisamos memorizar alguns valores e conhecer algumas fórmulas importantes.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Arco 0 90º 180º 270º 360º

Seno 0 1 0 -1 0

Cosseno 1 0 -1 0 1

Tangente 0 Não existe 0 Não existe 0

Observe que sabendo os valores do seno e do cosseno, automaticamente podemos calcular a tangente, lembrando que a tangente é a divisão do seno pelo cosseno. É por esta razão que não existe a tangente de 90º e não existe a tangente de 270º (ocorreria uma divisão por 0 que é uma “aberração” matemática). É muito importante também notar que o maior valor que o seno e o cosseno podem assumir é 1 e o menor valor que o seno e o cosseno podem assumir é .

III.

Fórmulas Importantes

Pois bem, as fórmulas que precisamos conhecer são: 1 Esta daqui já é nossa velha conhecida: a Relação Fundamental da Trigonometria. Fique bem atento aos sinais das funções trigonométricas quando for utilizar esta fórmula. cos Esta fórmula também é nossa velha conhecida. Agora as fórmulas “novas”: · cos

· cos

· cos

· cos

cos

cos · cos

·

cos

cos · cos

·

Já ouvi um aluno dizer o seguinte para memorizar os sinais das fórmulas acima: As fórmulas do SENO Æ SEM troca de sinal. As fórmulas do COSSENO Æ COM troca de sinal. Pode ser que isso ajude, não? E para que serve isso? Por exemplo, imagine que você precisa calcular o seno de 120º. Ora, lembre-se que 120° 90° 30°.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Vamos utilizar a fórmula do

. · cos

90°

30°

· cos

90° · cos 30° 120°

1· 120°

√3 2

30° · cos 90° 1 ·0 2

√3 2

Muito fácil, não? Vamos ver outro exemplo... Calcule o cosseno de 150º. Vamos resolver de duas maneiras: considerando que 150° 180° 30° e considerando que 150° 90° 60°. i)

150°

180°

30°

Neste caso, utilizaremos a fórmula do cos . Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM troca de sinal, portanto, terá um + no meio da fórmula. cos 180°

30°

cos 180° · cos 30° cos 150 °

1·

cos 150 °

√3 2

180° · 0·

30°

1 2

√3 2

E o cosseno tinha que ser negativo. Isto porque 150º é uma arco do segundo quadrante (já que está entre 90º e 180º) e os cossenos dos arcos do segundo quadrante são negativos. Basta olhar o quadro de sinais.

COSSENO

ii)

150°

90°

60°.

Neste caso vamos utilizar a fórmula cos . Lembre-se que a fórmula do cosseno é COM troca de sinal. Deve haver um sinal de menos na fórmula.

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25

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES cos cos 90°

cos · cos 60°

cos 90° · cos 60° cos 150°

0·

1 2

cos 150 ° EP 5.

·

Encontre uma expressão para

1·

90° ·

60°

√3 2

√3 2 2 .

Para encontrar uma expressão para 2 , basta notar que 2 utilizando a fórmula de , trocaremos a letra b pela letra a.

Fazendo

· cos

· cos

· cos

· cos

,

2

2·

· cos

EC 9. (CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que x = arccos valor da expressão cos( x − y ) é igual a: a)

6+ 2 4

b)

6− 2 4

c)

2 2

d)

3+

e)

2

. Desta forma,

2 1 e que y = arcsin então o 2 2

2 2

Resolução

2 , isto quer dizer que x é o arco cujo cosseno 2 1 2 / 2 . Analogamente, quando afirmamos que y = arcsin , isto quer dizer que y 2

Quando afirmamos que x = arccos vale

é o arco cujo seno vale 1/2. Assim, concluímos que:

x = 45 º; y = 30 º

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26

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Portanto, a questão quer que a gente calcule cos 45° Para isso, vamos utilizar a fórmula de cos cos cos 45° 15°

.

cos · cos 30°

·

cos 45° · cos 30°

√2 √3 · 2 2

30° .

√2 1 · 2 2

√6 4

45° · √2 4

30°

√6

√2 4

Letra A Observe que poderíamos marcar a resposta sem efetuar as contas. Sabemos que:

sen 2 (α ) + cos 2 (α ) = 1 Disto, podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são, no máximo, iguais a 1. Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao quadrado já obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo, a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo. Da mesma forma, também podemos concluir que tanto o seno quanto o cosseno são no mínimo -1. Se fosse possível, por exemplo, termos um seno valendo 2, aí quando elevamos ao quadrado já obtemos 4. Se ainda formos somar o cosseno ao quadrado, teríamos um valor maior que 4. Logo, a soma de seno ao quadrado com cosseno ao quadrado não seria igual a 1, o que é absurdo. O seno e o cosseno variam entre – →

1

1

1

1

e .

Sabendo que tanto o seno quanto o cosseno são sempre menores ou iguais a 1, já podemos descartar as alternativas D e E. Lembrando a tabela do cosseno: Ângulo 0º 30º

cosseno 1

3/2

45º

2/2

60º 90º

½ 0

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27

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES O ângulo de 15º está entre 0 e 30º. Logo, seu cosseno deve estar entre 1 e Já podemos, portanto, descartar a letra C. A letra C traz 45. A letra B traz um número que é menor que

3 /2.

2 / 2 , que é o cosseno de

3 / 2 . Também deve ser descartada.

Por exclusão, ficamos com a letra A.

EC 10. (MPOG 2003/ESAF) Sabendo que é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que seno de é igual a 12/13, então a tangente de é igual a: a) -12/5 b) -10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5 Resolução O enunciado informou que o arco é do segundo quadrante. Função

Sinal

SENO

COSSENO

TANGENTE

De acordo com esta tabela, no segundo quadrante o seno é positivo, o cosseno é negativo e a tangente é negativa. Com isso ficamos com as alternativas A e B. Quem sabe o tempo da prova está acabando e você precise dar um “chute”. Você já aumenta a sua chance de acerto para 50%. Bom, mas se Deus quiser você não vai precisar disso. Então como proceder?

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28

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Vejamos a Relação Fundamental da Trigonometria. 1 12 13

1 144 169

1

169 144 169 25 169

Temos duas possibilidades: 5 13

5 13

Ora, mas o arco é do segundo quadrante e seu cosseno é negativo. Concluímos que: 5 13 Para calcular a tangente de pelo cosseno.

usamos o fato que a tangente é o quociente do seno 12/13 5/13

cos

12 · 13

13 5

12 5

Letra A EC 11. (STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus dados por: elementos cos

2 O determinante da matriz

10

·

.

é igual a:

a) 10 b) 10 c) 10 d) 1 e) 10 Resolução Lembre-se desta tabela: Arco 0 90º

Seno 0 1

Cosseno 1 0

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Tangente 0 Não existe

29

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 180º 270º 360º

0 -1 0

-1 0 1

0 Não existe 0

Vamos construir a matriz de segunda ordem.

Quando

.

, temos que

Portanto: 2 2 Quando

, temo que

·1 ·2

cos

.

cos

·2

cos

·1

90°

1

180°

0

2

Portanto: 2

360°

1

180°

1

A matriz ficará assim: 1 1 1·0

1 0

1·

1

1

1 10

Nosso objetivo é calcular o determinante da matriz B tal que

· .

Quando multiplicamos uma fila de uma matriz por uma constante k, seu determinante será multiplicado por k. Ora, multiplicar a matriz A por 10 significa multiplicar as suas duas linhas (ou as duas colunas) por 10 . Portanto: 10

· 10

·

10

·1

10 Letra A EC 12. (STN 2000/ESAF) A expressão dada por número real. Assim, o intervalo de variação de a) 1 b) 7 c) 7

3 é:

7 1 1

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4 é definida para todo

30

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 7 7

d) 1 e) 1

Resolução Vimos que o menor valor possível para o seno de um arco é valor assumido pela expressão y é quando 1. 3·

í

1

4

1. Desta forma, o menor

1

O maior valor possível para o seno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela expressão é quando 1. á

3·1

4

7

Portanto, o menor valor possível para a expressão é 1 e o maior valor possível para a expressão é 7. Conclusão: 1 7 Letra E EC 13. (SFC 2002/ESAF) A expressão dada por 4· todo número real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) 4 b) 0 c) ∞ d) 0 e) 0

4 é definida para

8 8 ∞ 4 8

Resolução Vimos que o menor valor possível para o cosseno de um arco é menor valor assumido pela expressão y é quando 1. 4·

í

1

4

1. Desta forma, o

0

O maior valor possível para o cosseno de um arco é 1. Desta forma, o maior valor assumido pela expressão é quando 1. á

4·1

4

8

Portanto, o menor valor possível para a expressão é 0 e o maior valor possível para a expressão é 8. Conclusão: 0 8. Letra E EC 14. (MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que coseno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é: a) b)

-½ - (31/2)

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31

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES c) d) e)

31/2 (31/2)/2 - (31/2)/2

Resolução 120°

O ângulo suplementar de 60º é 120º, pois 60°

180°.

Desta forma, nosso objetivo é calcular a tangente de 120º. Vamos utilizar a fórmula fornecida pelo enunciado e que nós demonstramos no EP 5. 2

2·

2 · 60°

· cos

2·

120°

60° ·

2·

/

2 3

120° Podemos calcular

3

·

60° 1 2

/

2

120° com o auxílio da Relação Fundamental da Trigonometria. 1 120° √3 2

120°

3 4

120° 1

120°

1

120°

3 4

120°

1 1

4

3 4

1 4

1 4

Temos duas possibilidades: 120°

1 2

120°

1 2

Ora, 120º é um arco maior que 90º e menor que 180º e, portanto, pertence ao segundo quadrante. O cosseno de um arco do segundo quadrante é negativo.

COSSENO

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32

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES

Desta forma, cos 120°

1/2.

Para calcular a tangente de 120º vamos utilizar o fato de que a tangente é igual ao quociente do seno pelo cosseno. 120°

3

120° 120°

/

/

3

2 1 2

2

·

2 1

3

/

Letra B

4. Questões da ESAF com assuntos “esporádicos” EC 15. (STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 e o outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a: a) 3 −1 / 3 b) 21 / 2 c) 2 −1 / 2 d) 3 2 e) 1 Resolução A área de um triângulo pode ser calculada por meio da seguinte fórmula:

a×b×

sen(α ) 2

onde a e b são dois lados quaisquer e α é o ângulo entre eles. Podemos agora aplicar a fórmula da área do triângulo: Área: a × b × = 2× 2 ×

sen(α ) 2

sen( 45) 2

=

2 × sen( 45)

=

2×

2 =1 2

Letra E

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33

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES Fórmulas para cálculo da área de um triângulo de lados a, b, c:

a×b×

→

sen(α ) (onde α é o ângulo entre a e b) 2

b×h (onde h é a altura relativa ao lado b) 2 EC 16. (MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que x é seu maior ângulo interno, então o valor de 1 − sen 2 ( x) é igual a: a) -1 b)

2

c) 1 d) 0 e)

2 3

Resolução Creio que a idéia da banca era que o candidato analisasse as alternativas para marcar a resposta correta. Sabemos que, para qualquer ângulo, vale:

sen 2 ( x) + cos 2 ( x) = 1 Logo:

cos 2 ( x) = 1 − sen 2 ( x) Assim, o que o exercício pediu pra gente calcular, no fundo, é o valor de cos 2 ( x) . Qualquer número elevado ao quadrado é sempre não negativo. Com isso já descartamos a letra A. Além disso, sabemos que o cosseno é sempre menor ou igual a 1. Isto significa que cos 2 ( x) também será sempre menor ou igual a 1. Já descartamos a letra B. Na letra C, temos a indicação de que o cosseno vale 1. Neste caso, o ângulo x seria igual a zero grau. Mas isto é impossível. Num triângulo, os ângulos são sempre diferentes de zero. Já descartamos a letra C. Na letra D temos a indicação de que o cosseno vale 0. Neste caso, o ângulo x seria igual a 90º. Ou seja, teríamos um triângulo retângulo. A figura abaixo representa um triângulo retângulo com lados a, b, c, e altura h, relativa à hipotenusa a.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES

Num triângulo retângulo, os catetos são duas das alturas. As duas maiores alturas seriam os dois catetos do triângulo. Logo:

b = 15 c = 20 Por exclusão, a menor altura seria h.

h = 12 Num triângulo retângulo, vale a seguinte relação:

bc = ah O produto dos catetos é igual ao produto entre a hipotenusa e a altura correspondente.

bc = ah 15 × 20 = a × 12 ⇒ a = 25 Vamos testar se o triângulo de fato é retângulo. Para tanto, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Se a soma dos quadrados dos catetos for igual ao quadrado da hipotenusa, então o triângulo é retângulo.

15 2 + 20 2 = 625 25 2 = 625 De fato, o triângulo obedece ao teorema de Pitágoras. Então ele realmente é triângulo. Com isso, achamos a resposta. O ângulo x procurado é 90º. Gabarito: D O triângulo retângulo apresenta relações importantes entre suas medidas, chamadas de relações métricas do triângulo retângulo. Algumas delas são: →

1) bc = ah (onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa e h é a altura relativa à hipotenusa) 2) a 2 = b 2 + c 2 (onde b e c são os catetos, a é a hipotenusa). Também conhecida como teorema de Pitágoras

A resolução da questão sem a análise das alternativas envolve o conhecimento da chamada lei dos cossenos. Sejam a, b, c os lados do triângulo. Seja 20 a altura relativa ao lado a. Seja 15 a altura relativa ao lado b. Seja 12 a altura relativa ao lado c.

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35

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES A área do triângulo é calculada multiplicando-se um dos lados pela altura relativa a este lado, dividida por 2. Assim, a área do triângulo fica: Área =

20a 15b 12c = = 2 2 2

Multiplicando todos os termos por 2:

20a = 15b = 12c Das igualdades acima, concluímos que c é o maior lado do triângulo. Com isso, o ângulo a ele oposto será o maior ângulo do triângulo. Isto porque, num triângulo, o maior ângulo sempre está oposto ao maior lado. Observem a figura abaixo para melhor entendimento:

Observem que o maior ângulo do triângulo é xº. E ele está oposto justamente ao maior lado. Vamos, na igualdade acima, achar a e b em função de c.

a=

3c 4c ; b= 5 5

Ok, agora vamos para o tal da lei dos cossenos. Num triângulo qualquer, de lados a, b, c, onde z, y, x são os ângulos opostos, respectivamente, aos lados a, b, c, temos:

a 2 = b 2 + c 2 − 2bc × cos( z ) b 2 = a 2 + c 2 − 2ac × cos( y ) c 2 = b 2 + a 2 − 2ba × cos( x) Esta é a lei dos cossenos. Vamos pegar a última equação, que é a que traz o cosseno de x, que é o maior ângulo do triângulo.

c 2 = b 2 + a 2 − 2ba × cos( x) Substituindo os valores de a e b:

c2 =

16c 2 9c 2 3c 4c + − 2 × × × cos( x) 25 25 5 5

c2 =

16c 2 9c 2 24c 2 + − × cos( x) 25 25 25

Dividindo os dois lados da igualdade por c2.

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES 1=

16 9 24 + − × cos( x) 25 25 25 1=

25 − 24 cos( x) 25

25 = 25 − 24 cos( x ) − 24 cos( x ) = 0 cos( x ) = 0

cos 2 ( x) = 0 E conseguimos achar o valor do quadrado do cosseno de x.

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5. Relação das questões comentadas EC 1. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Seja o triângulo retângulo representado na figura abaixo:

Assinale a alternativa que representa o valor de cos θ. a) 0,5 b) 0,6 c) 0,71. d) 0,75. e) 0,8

EC 2. (Prefeitura Municipal de São José - Secretaria Municipal de Educação 2007/FEPESE) Para cercar um terreno triangular, o proprietário precisa determinar o comprimento do muro para que providencie a compra do material necessário. Na figura abaixo, você pode visualizar uma representação esquemática do terreno:

Assinale a alternativa que representa o comprimento do muro, sabendo-se que esta medida é dada pelo perímetro do triângulo apresentado. a) 1 b) 2 c) 1 d) 2 e) 3

2√3 2√3 √3 √3 √3

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES EC 3. (AFRFB 2009/ESAF) Um projétil é lançado com um ângulo de 30º em relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco primeiros segundos, é de 900km/h, a que altura em relação ao ponto de lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o lançamento? a) 0,333 km b) 0,625 km c) 0,5 km d) 1,3 km e) 1 km EC 4. (STN 2000/ESAF) Os catetos de um triângulo retângulo medem, respectivamente, e 2 . Sabendo que a tangente trigonométrica do ângulo oposto ao cateto que mede é igual a 1, então o perímetro do triângulo é igual a: a) 2

1

b)

2

2√2

c)

2

√2

d) 2 e) EC 5. (AFT 2006/ESAF) Sabendo-se que 3 valores para a tangente de x é igual a:

1, então um dos possíveis

a) -4/3 b) 4/3 c) 5/3 d) -5/3 e) 1/7 EC 6. (AFC/STN 2005/ESAF) O sistema dado pelas equações

⎧ xsen(a ) − y cos(a ) = − cos(2a ) ⎨ ⎩ x cos(a ) + ysen(a ) = sen(2a) possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que ‘a’ é uma constante, então a soma dos quadrados das raízes é igual a: a) 1 b) 2 c) 4 d) senπ e) cos π

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39

CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES EC 7. (AFT 2010/ESAF) Seja y um ângulo medido em graus tal que 0º ≤ y ≤ 180º com y ≠ 90º. Ao multiplicarmos a matriz abaixo por α, sendo α ≠ 0, qual o determinante da matriz resultante?

a) α cos y. b) α2 tg y. c) α sen y. d) 0. e) -α sen y. EC 8. (TFC 2000/ESAF) Se tem-se que: a) 16 b) 16 c) 16 d) 16 e) 16

9 9 9 9 9

3

e

4 cos , então, para qualquer ângulo ,

144 144 144 144 144

EC 9. (CGU 2008/ESAF) Sabendo-se que x = arccos valor da expressão cos( x − y ) é igual a: a)

6+ 2 4

b)

6− 2 4

c)

2 2

d)

3+

e)

2

1 2 e que y = arcsin então o 2 2

2 2

EC 10. (MPOG 2003/ESAF) Sabendo que é o ângulo correspondente a um arco do segundo quadrante, e que seno de é igual a 12/13, então a tangente de é igual a: a) -12/5 b) -10/13 c) 10/13 d) 12/13 e) 12/5

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES EC 11. (STN 2002/ESAF) A matriz A, quadrada de segunda ordem, tem seus dados por: elementos cos

2 O determinante da matriz

10

·

.

é igual a:

a) 10 b) 10 c) 10 d) 1 e) 10 EC 12. (STN 2000/ESAF) A expressão dada por número real. Assim, o intervalo de variação de a) 1 b) 7 c) 7 d) 1 e) 1

3

4 é definida para todo

é:

7 1 1 7 7

EC 13. (SFC 2002/ESAF) A expressão dada por 4· todo número real. Assim, o intervalo de variação de y é: a) 4 b) 0 c) ∞ d) 0 e) 0

4 é definida para

8 8 ∞ 4 8

EC 14. (MPOG 2000/ESAF) Sabe-se que o seno de 60º é igual a (31/2)/2, e que coseno de 60º é igual a ½. Sabe-se, também, que o seno do dobro de um ângulo α é igual ao dobro do produto do seno de α pelo co-seno de α. Assim, a tangente do ângulo suplementar a 600 é: a) b) c) d) e)

-½ - (31/2) 31/2 (31/2)/2 - (31/2)/2

EC 15. (STN 2005/ESAF) Em um triângulo ABC qualquer, um dos lados mede 2 e o outro mede 2cm. Se o ângulo formado por esses dois lados mede 45°, então a área do triângulo é igual a: a) 3 −1 / 3 b) 21 / 2 c) 2 −1 / 2

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CURSOS ONLINE ‐ PACOTE DE EXERCÍCIOS PARA INICIANTES d) 3 2 e) 1 EC 16. (MPOG 2008/ESAF) Sabendo-se que as alturas de um triângulo medem 12, 15 e 20 e que x é seu maior ângulo interno, então o valor de 1 − sen 2 ( x) é igual a: a) -1 b)

2

c) 1 d) 0 e)

2 3

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42

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6. Gabaritos 01. 02. 03. 04. 05. 06. 07. 08. 09. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

B E B C A A D B A A A E E B E D

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